Az1996-97. tanév  versenyfeladatai
 
 

1. FELADAT: TÖBBÉ KEVÉSBÉ PLUSZ MÍNUSZ

A következõ feladat megoldását németül, angolul, franciául, olaszul vagy spanyolul adjátok meg!

( 10 pont )

Peter hat den Tisch sechs Karten gelegt, die völlig gleich aussehen. Auf der anderen Seite trä gt jede von ihnen jeweils eine der Zahlen +1, +2, +3, -1, -2, -3.
Peter schlä gt seinem Freund Paul das folgende Spiel vor: Beide drehen gleichzeitig eine Karte um. Ist das Produkt der beiden Zahlen positiv, so ist Paul der Gewinner. Wenn das Produkt negativ ist gewinnt Peter.
Nach einigen Runden stellt Paul fest, dass Peter öfter gewinnt. Um seine Chancen zu erhöhen, schlä gt er vor, eine der Karten mit einer negativen Zahl aus dem Spiel zu entfemen und mit fünf Karten weiterzuspielen.
Hat Paul recht?
Begründe die Antwort.

Pierre a posé sur la table six cartes présentant un verso identique. Au recto de chacune d’elles figurent respectivement les nombres +1, +2, +3, -1, -2, -3.
Pierre propose alors á son ami Paup le jeu suivant:
Ils retournent simultanément chacun une carte. Si le produit des deux nombres qui apparaissent est positif, alors Paul gagne. Si le produit est négatif c’est Pierre le gagnant.
Apres quelques parties, Paul se rend comte que Pierre gagnye plus souvent que lui. Aussi, pour augmenter ses chances de gagner, il propose á Pierre d’enlever une carte portant un nombre négatif et de reprendre le jeu avec les cinq cartes restantes.
Paul a-t-il raison?
Justifier la reponse.

2. FELADAT: ÁLTALÁNOS FELÜGYELET

A mellékelt ábrán egy kiállító terem alaprajza látható. A teremben levõ 18 falfelületre helyezték el a kiállított képeket. A satírozott rész a látogatók elõl elzárt területet jelöli.
A szervezõk biztonsági okokból 4 kamerát szeretnének elhelyezni a falakon. Minden falszakasz belátható, és minden kamera is megfigyelhetõ kell legyen valamelyik másik kamera segítségével.
A falakon elhelyezett kamerák látószöge 135 o.
Az A, B és C pont három kamera helyzetét jelöli..
Rajzoljátok le a válasz-lapra a terem alaprajzát 1/100-as méretarányban, majd helyezzétek el a negyedik kamerát a megadott feltételeknek megfelelõen! Színezzétek ki négy különbözõ színnel az egyes kamerák látómezejét!

( 5 pont )

3. FELADAT: A BÛVÖS KERET

Claudia és Laetitia négy fadarabból egy keretet állit össze. Minden egyes darabnak mind a négy oldalát megszámozzák 1-tõl 16-ig.
"Ez csodálatos! - kiált fel Claudia. Az egyes darabok négy oldalára írt számok összege mindegyiken 34."
Laetitia kézbeveszi a keretet, vizsgálgatja,s leteszi az asztalra az ábrán látható módon, majd igy válaszol:
"Ez még mind semmi! Ha összeadom az alsó négy trapézon vagy a négy fölsõ trapézon levõ számokat, netalán a négy függõleges belsõ vagy a négy függõleges külsõ oldalon levõ számokat, végül a négy, közös csúccsal rendelkezõ bármely négy lapon levõ számokat, mindig 34-et kapok eredményül."
Készítsétek el a test hálózatát az ábrán látható módon, és írjátok be a hiányzó számokat!

( 10 pont )

4. FELADAT: FELBÉLYEGZETT FELADAT

Gerard gyûjteményében 1, 2, 3, 4 és 5 frankos bélyegek találhatóak. Ezekbõl 16 darabbal kirakható egy 4 x 4-es táblázat minden négyzete úgy, hogy semelyik sorban, oszlopban, átlóban illetve átlóval párhuzamos egyenes mentén sincs két egyforma értékû bélyeg, s az elhelyezett bélyegek összértéke nem haladja meg az 50 frankot.
Rajzoljatok le a feltételeket kielégítõ egy lehetséges elhelyezést!

( 5 pont )

5. FELADAT: SAROKRÓL SAROKRA

Egy A4-es levélpapír 21 cm széles és cm magas.
Úgy hajtjuk össze a lapot, hogy két szemköztes csúcs egymásra kerüljön. Így egy ötszöget kapunk.
Számítsátok ki az ötszög területének pontos értékét!

( 10 pont )

6. FELADAT: PICI KOCKÁK

Egy kocka lapjait négy-négy egybevágó négyzetre osztjuk.
Az így kapott 24 négyzetet színezzétek ki 3 színnel úgy, hogy az oldalban találkozó négyzetek különbözõ színûek legyenek!
Ragasszátok fel a válaszlapra a kocka hálózatát ilyen módon kiszínezve!

( 5 pont )

7. FELADAT: KUTYA-KERINGÕ

Blöki egy pórázon a tanya kútkávájához van kikötve: innen vigyáz a konyha nyitott ajtajára. Egyszercsak feltûnik Cicus. Az ajtó felé settenkedik, de mikor észreveszi Blökit, menekülni kezd a fal mentén. Óriási hajsza indul a kút körül! Miközben Blöki kergeti Cicust, a póráz feltekeredik a kútgyûrûre...
Íme az adatok:
- a tanya udvara négyzet alakú, oldala 20 méter hosszú
- a kút az udvar közepén van
- a kútgyûrû átmérõje 1,20 méter
- a póráz 8 méter hosszú és nem nyúlik.
Rajzoljátok le 1/100-as méretarányban a válaszlapra Blöki útját , feltételezve azt, hogy a hajsza során mindig megfeszül a póráz.

( 10 pont )

8. FELADAT: KISZÖGELÉS

Egy 20 cm oldalhosszú, négyzet alakú falemezbe 1 cm-enként szögeket vertek a rajzon látható módon.
Szeretnénk körülkeríteni egy nyolcszöget úgy, hogy annak minden csúcsa egy-egy szög legyen, s a lehetõ "legszabályosabb" legyen: a nyolcszög szögei egyenlõek legyenek, négy oldala legyen párhuzamos a lemez egy-egy oldalával és két szomszédos oldal hosszának aránya a lehetõ legjobban közelítse meg az 1-et!
Rajzoljátok le a válaszlapra a "szögrácsot", s jelöljétek be színessel a nyolcszöget!

(5 pont )

9. FELADAT: DESCARTES-SZORZAT

René DESCARTES (1596-1650) a "Geometria" címû könyvében az alábbi eljárást írja le, amely körzõvel és vonalzóval elvégezhetõ, s két szakasz szorzatát adja meg.
" Legyen például AB az egység és BD szakaszt kell szorozni BC-vel. Nem kell mást tennem, mint elhelyezni az A és C pontokat, majd meghúzni DE egyenest az AC-vel párhuzamosan. BE lesz a keresett szorzat."
1.) Igazoljátok Descartes eljárásának helyességét!
2.) Az elõbbi AB szakaszt egységnek választva, az itt látható két szakasz hossza a és b.
Descartes által leírt módszert módosítva szerkesszetek egy a/b hosszúságú szakaszt!

( 10 pont )

10. FELADAT: FEJREÁLLT ...

Haddock kapitány az ebédhez jócskán fogyasztott kedvenc whisky-jébõl. Tintin nem is állta meg, hogy szóvá ne tegye:
"De kapitány, micsoda dolog ez! Tegnap még az asztalon lévõ üveg tele volt, most meg csak 14 cm magasan áll benne az ital!"
"Ezer ördög és pokol!" - válaszolta ingerülten a kapitány, és közben megfordítja az üveget. " Az üvegben 19 cm magas a whisky szintje a dugó fölött!"
Az üvegbe 0,76 liter folyadék fér.
Számítsátok ki cm3 pontossággal, mennyi ital maradt az üvegben!

( 15 pont )

11. FELADAT: MINDIG UGYANÚGY

Dupont asszony minden este autóval megy férje elé a pályaudvarra. Mindig ugyanakkor indul otthonról, mindig ugyanazon az útvonalon megy mindig ugyanazzal a sebességgel hogy mindig pontosan 18 óra 30 percre érjen az állomásra: mindig ekkor érkezik ugyanis Dupont úr vonata. Ezután együtt mennek haza, mindig ugyanazon az útvonalon mindig ugyanazzal a sebességgel.
Egyszer azonban Dupont úr egy másik vonattal érkezik, amelyik 18 óra 10 perckor fut be az állomásra. Felesége még nem ért oda, gyalogosan vág neki a hazafelé vezetõ útnak. Út közben összetalálkoznak, s együtt mennek haza. Így 10 perccel hamarabb érnek lakásukhoz, mint a többi napon szoktak.
Mennyi ideig gyalogolt Dupont úr ?

( 5 pont )

12. FELADAT: ÁTLAG HATÁROK NÉLKÜL

Több, mint 1000 osztály vett részt Bergengóciában a "MATEMATIKA HATÁROK NÉLKÜL" versenyen. A versenyzõ osztályok egy része nyolcadikos, a másik része kilencedikes volt. A sok résztvevõre való tekintettel az északi és déli tartományban külön-külön hirdették meg a versenyt.
Az ereményhirdetésen a szervezõk értékelték az egyes feladatok megoldását. Az egyik 10 pontot érõ feladatnál a következõ hangzott el: "E feladat mindkét tartományban külön külön vizsgálva jobban sikerült a nyolcadikosoknak. Ha azonban a két tartományt együtt tekintjük, a kilencedikesek átlagpontszáma felülmúlja a nyolcadikosokét."
Az értékelés többekben kételyt ébresztett ... pedig a szervezõk nem tévedtek!
Keressetek példát , amely a leírt helyzetet valósítja meg!

( 10 pont )

13. FELADAT: VARÁZSGÖMB

Madame Lune a híres jósnõ eltörte a kristálygömbjét. A jósláshoz pedig pontosan ugyanolyan sugarú gömbre lenne szûksége!
E sugár meghatározására Napraforgó professzort kéri fel. A professzor a probléma megoldására szferométert használ.
Ez egy olyan eszköz, amely segítségével számítható a gömbtest sugara. Három lábon áll a szerkezet, a lábak 9 cm oldalú szabályos háromszöget alkotnak. A szerkezet "lelke" egy tû, amely a lábak által alkotott háromszög síkjára merõlegesen áll, s egyenese átmegy a háromszög középpontján.
A szferométer három lábát Napraforgó professzor ráhelyezi a törött gömb egy darabjára. Ezután addig csavarja a tût, amíg annak hegye nem érinti a gömbfelületet. Ekkor a mûszerrõl leolvasható, hogy a tû hegye a háromszög síkjától 2 cm távolságra van.
Számítsátok ki a kristálygömb sugarát ...és jósoljátok meg a jövendõt.

( 15 pont )
 
 
A következõ tanév feladatsora
vissza a versenyfeladatokhoz
Az 1996-97. próbaforduló feladatsora